级数是研究函数的重要工具，级数是产生新函数的重要方法，同时又是对已知函数表示、逼近的有效方法，在近似计算中发挥着重要作用。我们在建立定积分概念的同时，引入变上限积分定义出了一类新函数，使我们认识到除了初等函数之外的函数类有了级数理论后，使我们的眼界进一步开阔了，认识到了更广泛的非初等函数类型。
级数理论的功能并不仅仅在于引进非初等函数，更重要的是给出了研究这些函数的有效方法，而且即使是初等函数，给出了它们的级数形式，有时会更便于研究它们的性质。我们知道，泰劳公式是用有限项的多项式近似表示函数，它对于研究函数的局部逼近和整体逼近有着重要意义，在此基础上和一定的条件下，我们可以用无穷多项的多项式来准确地表示一个函数，这就是幂级数。利用函数的幂级数展开式，对研究函数的性质和计算都有着非常重要的作用。 当然，能表示成幂级数的函数必须具备任意阶可微的条件，这对于有些性质较差的函数（如分段函数），我们就不能展开成幂级数，此时付立叶级数却能满足这样的函数的展开。
级数理论的基础仍然是极限，级数是一个无限求和的过程，它与有限求和有着根本的不同，即参与了极限运算，把极限及其运算性质移植到级数中去，就形成了级数的一些独特性质。级数理论的第一个重要概念是收敛性。此外，级数的运算、函数项级数的一致收敛性、一致收敛级数的分析性质、函数的幂级数展开、函数的付立叶级数展开都是级数理论的基本内容。
