黎曼函数定义　R(x)=0，如果x=0，1或(0，1)内的无理数 R(x)=1/q，如果x=p/q（p/q为既约真分数），即x为(0，1)内的有理数。定理：黎曼函数在区间(0，1)内的极限处处为0。 证明：对任意x0∈(0，1)，任给正数ε，考虑除x0以外所有黎曼函数的函数值大于等于ε的点，因为黎曼函数的正数值都是1/q的形式（q∈N+），且对每个q，函数值等于1/q的点都是有限的，所以除x0以外所有函数值大于等于ε的点也是有限的。设这些点，连同0、1，与x0的最小距离为δ，则x0的半径为δ的去心邻域中所有点函数值均在[0，ε)中，从而黎曼函数在x->x0时的极限为0。 推论：黎曼函数在(0，1)内的无理点处处连续，有理点处处不连续。 “对x=0，只需考虑有极限，证明完全一样。”