等额本息计算公式推导过程

等额本息计算公式推导，等额本息还款法即把按揭贷款的本金总额与利息总额相加，然后平均分摊到还款期限的每个月中，每个月的还款额是固定的，但每月还款额中的本金比重逐月递增、利息比重逐月递减。

等额本息计算公式推导

等额本息是买房按揭贷款时最常用的一种还款方式，其意义从字面就可以理解，就是每期还款的本金加利息之和相等。我们在计算每期应还本金和利息时，在Excel中可以方便的使用函数PMT(rate，nper，pv)计算每期本金利息和PPMT(rate，per，nper，pv)计算每期本金（rate为还款周期利率，per为还款期次，nper为还款总期数，pv为贷款总额）。

函数很好用，但总觉得不够直观，我们看不到从本金、利率、期数算出结果的过程。其实通过在高等数学中的等比序列知识，不难把计算公式推导出来。下面为推导过程：

等额本息还款公式推导

设贷款还款方式为等额本息（按月还）。P为整笔贷款本金，M为贷款总月数（期供总数），R为月利率，V为每期应还本金利息和Pn为第n期应还本金，Vn为第n期应还本息和。有：

第1期应还本息和 = P1+(P1+P2+...+PM)*R

第2期应还本息和 = P2+(P2+P3+...+PM)*R

第3期应还本息和 = P3+(P3+P4+...+PM)*R

..

第M期应还本息和 = PM+PM*R

第一步推论：Pn=P1*(1+R)^(n-1)

按照等额本息的定义，每期应还本金和利息总和相等。则有：

V1=V2=V3=V

由V1=V2

P1+(P1+P2+...+PM)*R = P2+(P2+P3+...+PM)*R

=》P1+P1*R+(P2+P3+...+PM)*R = P2+(P2+P3+...+PM)*R

=》P1+P1*R = P2

=》 P2 = P1*(1+R)

同理，由V2=V3

=》 P3 = P2*(1+R) = P1*(1+R)^2

由V(n-1)=Vn

=》 Pn = P1*(1+R)^(n-1)

第二步推论：P1=P*R/((1+R)^M-1)

再由P=P1+P2+...+PM推导，得：

P = P1+P2+...+PM = P1+P1*(1+R)+P1*(1+R)^2+...+P1*(1+R)^(M-1)

注意上述公式是一个等比序列求和问题。先复习下等比序列基础知识：

有数列 a1，a2，a3，...，an，...

如果a2/a1=a3/a2=...=an/a(n-1)=...=q，q≠0，则这个数列为等比数列。

等比数列求和公式：

Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)

结合等比数列求和公式，此处q=1+R， n=M，得

P = P1+P2+...+PM = P1+P1*(1+R)+P1*(1+R)^2+...+P1*(1+R)^(M-1)

= P1*(1-(1+R)^M)/(1-(1+R))

= P1*((1+R)^M-1)/R

求P1，得：

P1=P*R/((1+R)^M-1)

第三步：结论

由第二步P1公式，代入Pn=P1*(1+R)^(n-1)，得：

Pn=P*R*(1+R)^(n-1)/((1+R)^M-1)

这就是每期应还的本金。每期应还的本息和为：

V=V1

=P1+P*R

= P*R/((1+R)^M-1)+P*R

= P*R*(1/((1+R)^M-1) + 1)

= P*R*(1+R)^M/((1+R)^M-1)

至此，得到结论。