条件：连续，或有有限个间断点，有界。若函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，则在积分区间（a，b）上至少存在一个点ξ，使∫（b，a）f（x）dx=f（ξ）（b-a）成立。其中，a、b、ξ满足：a≤ξ≤b。

对于积分中值定理的第一个证明，也可以增加一些步骤，使得结论在（a，b）上成立。但是对于这本书来说，因为有了第二个证明，书的严谨性和完整性已经具备了，所以第一个证明只写了较弱的结论。