积分第二中值定理怎么证明

第二中值定理：设f(x)在[a，b]上可积，g(x)在[a，b]上单调，

则存在ξ∈[a，b]，使得

∫(a，b) f(x)g(x)dx

= g(a)∫(a，ξ) f(x)dx + g(b)∫(b，ξ) f(x)dx

积分第一中值定理：若f(x)在[a， b]上连续，则在[a， b]上至少存在一点ξ，使

∫(a，b) f(x)dx = f(ξ)(b - a)

设G(x)为f(x)的原函数。

由第一中值定理得 在[a，b]中存在e 使

∫(a，b) f(x)g(x)dx=G(b)g(b)-G(a)g(a)+G(e)g(a)-G(e)g(b)

而要证的部分（第二中值定理等式右边) 要证ξ存在

因为g(a)∫(a，ξ) f(x)dx + g(b)∫(b，ξ) f(x)dx=G(b)g(b)-G(a)g(a)+G(ξ)g(a)-G(ξ)g(b)

故 因为存在e使∫(a，b) f(x)g(x)dx=G(b)g(b)-G(a)g(a)+G(e)g(a)-G(e)g(b)成立

只要ξ=e 即有第二中值定理等式成立 故ξ存在