数列的有界一开始也是局部的（n＞N时有界），但是这个局部之外只有有限项(第1～N项)，所以把前N项的值补进来，数列还是有界的。
函数极限的有界性是由自变量的变化趋势决定的，自变量取值是实数，不管是在x0的去心δ邻域内有界，还是当|x|＞X时有界，它们的外面还有无穷多个实数，对应有无穷多个函数值，一般来说是不可能把这些函数值都补进来的，所以只能是局部性有界。
函数极限可以分成，而运用ε-δ定义更多的见诸已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。
以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的函数值f(x)都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。
问题的关键在于找到符合定义要求的 ，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。
