华氏定理的公式

华氏定理（1940）命 q是一个正整数， f(x)=ax+...+ax 为一个k次整系数多项式且最大公约（ a， ...，a，q） =1，则对于任何 ε>0皆有

华氏定理

华氏定理溯源于高斯（C.F. Gauss）他首先引进 f(x)=ax 的特例情况

即所谓高斯和: S(q， ax)，(a，q)=1

并得到估计 S(q， ax)=O(q).

高斯引进并研究高斯和的目的在于给出初等数论中非常重要的二次互反律一个证明。以后，不少数学家企图推广高斯和及他的估计，但他们只能对特殊的多项式所对应的 S(q， f(s))，取得成功，这一历史名题直到1940年，才由华罗庚解决。

华氏定理是臻于至善的，即误差主阶 1-1/k 已不能换成一个更小的数。这只是取 f(x)=x及 q=p，p为素数，就可以知道。所以依维诺格拉朵夫称赞华氏定理是惊人的。

华氏定理的直接应用是，可以处理比希尔伯特一华林定理更为广泛的问题：

命 N为一个正整数， f(x)(1≤ i ≤s )是首项系数为正的 k次整值多项式

考虑不定方程 N = f(x)+...+f(x) (1)

的求解问题，特别取 f(x)+...+f(x) = x即得

N =x+...+x. (2)