前面的朋友说得都非常好，我从
线性变换
的角度说一下矩阵乘法的不可交换性。线性变换的乘法:
首先考虑两个线性变换
A
和B
(在给定一组基下，它们所对应的矩阵是A和B)，对某向量x，我们定义先
对它进行A
变换，得到的结果后
进行B
变换，记为:BA
(x
):=B
(A
(x
))而
先
B
后A
我们记为:AB
(x
):=A
(B
(x
))以上两者在给定一组基下，可以对应对矩阵的运算，即(BA)x和(AB)x.
线性变换的几何意义
比如说，线性变换可以将一个正方体映射为一个平行六面体，可以将某个几何体投影到某平面上(这反映到矩阵中就是不满秩的)。
总而言之，就是在特定的几个方向进行伸缩
。(特定的几个方向实际上与特征向量有关)
说明
两线性变换的乘法交换的结果对x的作用一般是不同的。
比如恰好
A
把x所在的线性子空间“压缩”为零空间（x是A
核中的元素）而对于B
并非如此此，B
x非但不为零，并且不在的A
核中，于是我们有:BA
(x
)=B
(A
(x
))=B
(0
)=0
但是
AB
(x
)=A
(B
(x
))非零用这个思路可以举出无数的例子。
补充:
在上面讲述的过程中，我为了避免麻烦，故意将矩阵、向量的级数问题忽略，这个应该没什么大问题。如果存在矩阵和向量不能相乘的情况，我们可以通过增加零行、零列、零元素，使相乘两者级数一致，我想这不是什么难事。
