如果函数f(x)及F(x)满足：

(1)在闭区间[a，b]上连续

(2)在开区间(a，b)内可导

(3)对任一x∈(a，b)，F'(x)≠0

那么在(a，b)内至少有一点ζ，使等式

[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ζ)/F'(ζ)成立。

柯西简洁而严格地证明了微积分学基本定理即牛顿－莱布尼茨公式。他利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式，还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积，推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式。