误差基本概念
这里涉及两种基本的误差。
绝对误差：x-a，其中a是x的一个近似值。
相对误差： 绝对误差可能会引起误会，不能正确反映误差变化。比如x1 = 3.0000，a1 = 3.100，x2=3000，a2=3100，计算看来x1-a1=-0.1，x2-a2=-100，两个绝对误差是不同的，但是计算一下相对误差会发现是同一数量级的。因此采用相对误差衡量误差的大小变化更为精确。
问题： 但是有一个问题是，现实中，我们并不清楚真实值x的大小怎么办呢
解决方案 使用a作为x的近似值，来计算相对误差，即。
3、 绝对误差界 定义为绝对误差界
4、 相对误差界 定义为相对误差界。
因为，绝对误差解是一个大于等于|x-a|的数值，因此绝对误差界和相对误差界并不唯一。
3、有效数字
首先，明确有效位数的概念。以为例子，假设a1=3.14，a2=3.1416这种选取近似值的特点是，误差界不超过它们末位数字的半个单位。
范数
定义：我们希望把任何一个向量或矩阵与一个非负实数联系起来，在某种意义下，这个实数能提供向量和矩阵的大小度量。由于多方面的用途，这样做是方便的。我们希望这样一个数量类似于一个复数的模。 可以把范数看成一个函数映射过程，，其中y是映射后的范数，f是对应的各种范数变换。 范数的概念是复数模的概念的自然推广。
1、向量范数及其等价性
（1）向量范数
什么是范数 范数满足三个性质
非负性：，并且||x||=0的充要条件为x=0
齐次性：
三角不等式： 满足以上三个条件，称||·||为范数。
P-范数
P范数的定义如下
通过推导，我们会得到三种经典的范数如下：（推导过程不需要掌握，记住经典的三种向量范数的求解公式即可）
典型的向量范数有三种
证明二范数满足性质三，三角不等式
加权范数
定义为：
2、 矩阵范数及相容矩阵范数的性质
（1）矩阵范数
矩阵可以通过变化拉伸成一维的向量，进而可以将向量范数的概念推广到矩阵范数。记住，这里的推广是基于将矩阵转换成一维向量实现的。
矩阵因为涉及到矩阵的乘法，因此矩阵范数的定义相较于向量范数有一些条件上的增强。
非负性：对任意矩阵A均有||A||≥0，并且||A||=0的充分必要条件为A=0
齐次性：
三角不等式：
相容性：
因此有由向量范数推广得到的三种矩阵范数。
实际运算中，不止会出现矩阵相乘，矩阵与向量相乘更是常常出现，那么如何衡量矩阵和向量之间的关系呢因此就提出了矩阵范数与向量范数的相容性问题。
定义：对于一种矩阵范数和一种向量范数，如果对任意m x n矩阵A和任意n维向量x，满足
则称矩阵范数与向量范数是相容的。
事实上可以证明，任意一种矩阵范数必然存在与之相容的向量范数。
矩阵范数与向量范数相容的性质反映这样一个事实：矩阵A的范数||A||是象Ax的范数||Ax||和原象x的范数||x||之比的一个上界，即。因此可以用||A||来评估变换A的结果，但是这种估计非常粗糙。现在的问题是象Ax的范数||Ax||和原象x的范数||x||之比的上界中的最小上界或上确界是否仍是A的范数。从而引出算子范数的概念。
（2）算子范数
首先，有算子范数的定义。
我们可以证明出确实是一个范数（通过证明满足矩阵范数的四个条件）。
我们称1-25定义的矩阵范数是从属于向量范数||·||v的矩阵范数，简称从属范数或算子范数。
进而我们通过推导，可以得到常用的从属于向量1-范数，2-范数，∞-范数的矩阵范数，我们称之为列范数，谱范数和行范数。
