柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。

如果函数 f(x) 及 g(x) 满足

在闭区间 [a，b] 上连续

在开区间 (a，b) 内可导

对任意

那么在 (a，b) 内至少有一点 ξ(a < ξ < b) 使等式

成立。

首先，如果 g(a) = g(b)，由罗尔定理，存在一点

使得 g'(x0) = 0，与条件3矛盾。所以

令

那么

h 在 [a，b] 上连续

h 在 (a，b) 上可导

由罗尔定理，存在一点

使得 h'(ξ) = 0。即