一、一次函数的定义
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数.
当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
【注意】
正比例函数是一次函数的特例,正比例函数一定是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数.
1、一次函数解析式 y=kx+b 的结构特征
(1)k是常数, k≠0
(2)自变量x的次数是1
(3)常数项b可以为任意实数.
2、自变量及函数值的取值范围
(1)一般情况下,一次函数自变量的取值范围是全体实数,函数值的取值范围也是全体实数.
(2)实际问题中,自变量的取值范围根据实际问题而定.
二、一次函数的图像及性质
1、一次函数的图象
(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以由直线y=kx平移|b|个单位长度得到(当b>0,向上平移当b<0,向下平移),因此一次函数y=kx+b(k≠ 0)的图象也是一条直线.
(2)一次项系数k值相等时,直线的倾斜程度相同,因此k值相等时函数图象互相平行.
(3)几条直线互相平行时,k的值相等,而b的值不相等.
2、一次函数的图象性质
【总结强调】
(1)k的符号决定一次函数的增减性
①当k>0时,图象一定经过第一、第三象限,图象从左向右上升,y随x的增大而增大
②当k<0时,图象一定经过第二、第四象限,图象从左向右下降,y随x的增大而减小.
(2)b的符号决定一次函数与y轴的交点位置
①当b>0时,图象与y轴的交点在x轴上方,图象一定经过第一、第二象限
②当b<0时,图象与y轴的交点在x轴下方,图象一定经过第三、第四象限
③当b=0时,函数图象一定经过原点.
(3)k、b的符号共同决定一次函数所在的象限
①已知k,b的符号判断一次函数经过的象限.
②可由一次函数y=kx+b图象的位置确定其系数k、b的符号.
【技巧总结】
一次函数的性质可简记为“正积负偶,正前负后”,一般来说讨论一次函数图象的性质可以遵从“先k后b”的顺序,然后依据若k的值为正数时,图象经过奇数(第一、第三)象限k的值为负数时,图象经过偶数(第二、第四)象限b的值为正数时(图象上移),图象经过前两个象限b的值为负数时(图象下移),图象经过后两个象限.
3、一次函数的解析式
4、一次函数解析式与一次函数图象
我们可以由函数图象的意义知,对于满足函数关系式y=kx+b的点(x , y)在其对应的图象上,这个图象就是一条直线l,反之,对于直线l上的点的坐标(x ,y)满足y=kx+b,也就是说,直线l与y=kx+b是一一对应的,故而我们通常把一次函数y=kx+b的图象叫做直线l:y=kx+b,有时直接称为直线y=kx+b.但是需要特别注意对于一次函数来说要始终保证k≠0这个条件.
5、待定系数法求一次函数解析式
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