定理：黎曼函数在区间(0，1)内的极限处处为0。
证明：对任意x0∈(0，1)，任给正数ε，考虑除x0以外所有黎曼函数的函数值大于等于ε的点，因为黎曼函数的正数值都是1/q的形式（q∈N+），且对每个q，函数值等于1/q的点都是有限的，所以除x0以外所有函数值大于等于ε的点也是有限的。设这些点，连同0、1，与x0的最小距离为δ，则x0的半径为δ的去心邻域中所有点函数值均在[0，ε)中，从而黎曼函数在x->x0时的极限为0。
推论：黎曼函数在(0，1)内的无理点处处连续，有理点处处不连续。
推论：黎曼函数在区间[0，1]上是黎曼可积的。（实际上，黎曼函数在[0，1]上的积分为0。）
证明：函数可积性的勒贝格判据指出，一个有界函数是黎曼可积的，当且仅当它的所有不连续点组成的集合测度为0。黎曼函数的不连续点集合即为有理数集，是可数的，故其测度为0，所以由勒贝格判据，它是黎曼可积的。
