如果函数f(x)及F(x)满足：(1)在闭区间[a，b]上连续(2)在开区间(a，b)内可导(3)对任一x∈(a，b)，F'(x)≠0，那么在(a，b)内至少有一点ζ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ζ)/F'(ζ)成立。就是柯西中值定理。 柯西积分公式是证明一系列解析函数重要性质的工具，首先是证明了圆盘上的解析函数一定可展为幂级数 ，从而证明了 A.-L.柯西与K.魏尔斯特拉斯关于解析函数两个定义的等价性，其次证明了解析函数是无限次可微的，从而其实部与虚部也是无限次可微的调和函数。柯西积 分定理 已推广到沿同 伦曲线或沿同调链积分的形式。柯西积分公式在多复变函数中也有许多不同形式.简单的说，定义如下：设C是一条简单闭曲线，函数f（z）在以C为边界的有界区域D内解析，在闭区域D‘上连续，那么有:f(z)对曲线的闭合积分值为零。（注:f(z）为复函数）