正弦函数无穷乘积式的证明

1、正弦函数的幂级数展开式：sinZ=ZΣ(n=0～∞){[(-1)^n*Z^(2n)]/(2n+1)!}=Zf(Z)注：(1)Z为所有复数时，该级数都收敛，(2)f(Z)的所有零点为c(n)=nπ(n=±1、±2、……±∞)2、设f(Z，m)=Σ(n=0～m){[(-1)^n*Z^(2n)]/(2n+1)!}，f(Z，m)的所有零点为c(n，m)(n=±1、±2、……±m)3、由代数基本定理得：若b(n)(n=1～M)是g(Z，M)=1+Σ(n=1～M)[a(n)*Z^n]的所有零点，则g(Z，M)=Π(n=1～M)[1-Z/b(n)]故f(Z，m)=Π(n=1～m)[1-Z²/c²(n，m)]4、取m→∞得：c(n，m)→c(n)f(Z，m)→f(Z)即sinZ=ZΠ(n=1～∞)[1-Z²/(nπ)²]令Z=xπ得：sin(πx)=(πx)∏(n=1～∞)(1-x²/n²).