通项公式基本知识

一、定义

如果数列{an}的第n项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式简单的说就是一个数列的规律，有了通项公式就可以写出数列

二、特征

通项公式：如果一个数列的第n项an与其项数n之间的关系可用式子an=f（n）来表示，这个式子就称为该数列的通项公式.

1、通项公式通常不是唯一的，一般取其最简单的形式

2、通项公式以数列的项数n为唯一变量

3、并非每个数列都存在通项公式.

4、应用于等差数列或应用于某一不规则数列可以肯定某部分为等差的等差部分.

三、原理

数列定义：

按一定次序排成的一列数叫数列.其中，数列中的每一个数都叫做这个数列的项.

数列的形式一般可表示为a1，a2，…，an，… （1、2、3、…、n为下标）　递推公式：如果一个数列的第n项an与该数列的其他一项或多项之间存在对应关系的，这个关系就称为该数列的递推公式.例如斐波纳契数列的递推公式为an=an-1+an-2（n、n-1、n-2为下标）. 通项公式是要用科学的计算方法来求证的，其中要用到各种公理，定理，及各种计算方法. 怎么由递推公式求通项公式关键是看递推公式的形式，不同的形式方法不同.

如 an=a(n-1)+p或an=qa(n-a)

这是最简单的等差型与等比型，这里就不赘述. 　

　又如 an=p*a(n-1)+q，这种形式可以用不动点法　

　令an-d=p[a(n-1)-d]

通过比较系数，可以把d用p与q表示出来（d=q/(1-p)）　

　然后就化成了等比型，就可以求出an+d，进而求出an. 　

　又如 an=p*a(n-1)+q*a(n-2)这样的形式　

　可以设 an-d*a(n-1)=p*[a(n-1)-d*a(n-2)] 　

　仍然可以解出d，然后可以把an-d*a(n-1)求出，最后再求an. 　

　还有an=[a*a(n-1)+b]/[c*a(n-1)+d]，这是分式型. 　

　这时要设 an-k=a*[a(n-1)-k]/[c*a(n-1)+d]，然后通常可以解出两个k值（k1、k2）　

　然后再两式相比，得：