向量鸡爪定理如何证明

鸡爪定理：三角形一内角的平分线与其外接圆的交点到其它两顶点的距离及到内心与旁心的距离相等。

鸡爪定理指的是设△ABC的内心为I，∠A内的旁心为J，AI的延长线交三角形外接圆于K，则KI=KJ=KB=KC。其中KI、KJ、KB、KC组成的图形，形似鸡爪，故被称为鸡爪定理。

基本信息

中文名

鸡爪定理

外文名

Chicken theorem

应用学科

平面数学

证明

1、证明：由内心和旁心的定义可知∠IBC=∠ABC/2，∠JBC=(180°-∠ABC)/2

∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ

同理，∠ICJ=90°

∵∠IBJ+∠ICJ=180°

∴IBJC四点共圆，且IJ为圆的直径

∵AK平分∠BAC

∴KB=KC（相等的圆周角所对的弦相等）

又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB

∴KB=KI

∵IBJC四点共圆 且 KB=KI=KC

∴点K是四边形IBJC的外接圆的圆心（只有圆心满足与圆周上超过三个以上的点的距离相等）

∴KB=KI=KJ=KC

2、证明：∵E为内心，∴BE平分∠ABC，∴∠2=0.5∠ABC

∵F为旁心，∴BF平分∠MBC，∴∠CBF=0.5∠MBC

∴∠1+∠CBF=0.5（∠ABC+∠MBC）=0.5×180o=90o

∴∠EBF=90o，同理：∠ECF=90度

∴∠EBF+∠ECF=180o， E、B、F、C四点共圆。

∵AD平分∠BAC，且B，D，C三点在△ABC外接圆上，∴DB=DC。①

∵∠6=∠1+∠3，∵∠3=∠4=∠5，∴∠6=∠1+∠5，∵∠1=∠2

∴∠6=∠2+∠5，∴DE=DB。比较①得：DB=DC=DE

∵E、B、F、C四点共圆，∴D为E、B、F、C四点外接圆的圆心

鸡爪定理的证明

∴DB=DC=DE=DF，定理得证。