二项分布的背景是，做n次实验，每次成功的概率都是p..要计算成功次数x = k的概率。
P{x=k} = C(n，k)p^k(1-p)^(n-k)， k=0，1，2，...，n-1，n.
其中，C(n，k)表示从 n 次实验中任选k次的选法数目。。
C(n，k) = n!/[k!(n-k)!]..
n!是n的阶乘。。5! = 5*4*3*2*1
期望是平均值的意思。。
成功次数x的期望，是平均成功次数的意思。。
每次成功概率为p， n次实验的平均成功次数 = n*p..好理解，好记。
计算公式复杂点。。E（X) 表示期望。。因E是expectation(期望)的首字母。。
E(X) = Sum_{k:0->n}kP{x=k} = Sum{k:0->n}kC(n，k)p^k(1-p)^(n-k)
= Sum_{k:1->n}kC(n，k)p^k(1-p)^(n-k)
= Sum_{k:1->n}k*n!/[k!(n-k)!]p^k(1-p)^(n-k)
= Sum_{k:1->n}n!/[(k-1)!(n-1-k+1)!]p*p^(k-1)(1-p)^(n-1-k+1)
= npSum_{k:1->n}(n-1)!/[(k-1)!(n-1-k+1)!]p^(k-1)(1-p)^(n-1-k+1)
= npSum_{m:0->n-1}(n-1)!/[m!/(n-1-m)!]p^m(1-p)^(n-1-m)
= np
Sum表示求和。。Sum_{k:0->n}f(k)，表示f(0) + f(1) + f(2) + ... + f(n).
最后一个等式来自归一性。..概率之和为1.
【做n-1次实验，要么成功0次，要么成功1次，要么成功2次，。。。，要么成功n-1次。。所以，成功0次的概率+成功1次的概率+。。。+成功n-1次的概率=1】
方差表示实际成功次数与期望之间的差距的平方。。D(X)表示方差。。因D是deviation（差别）的首字母【其实一般用V代表方差，Variance（方差）。。但不知为何，偏偏有人选用D。。】
计算公式为，D(X) = E[X - E(X)]^2 = E(X^2) - (EX)^2
我们先看E[X(X-1)]， 再计算E(X^2) = E[X(X-1) + X] = E[X(X-1)] + EX，最后，再计算DX。
E[X(X-1)] = Sum_{k:0->n}k(k-1)P{x=k} = Sum{k:0->n}k(k-1)C(n，k)p^k(1-p)^(n-k)
= Sum_{k:2->n}k(k-1)C(n，k)p^k(1-p)^(n-k)
= Sum_{k:2->n}k(k-1)*n!/[k!(n-k)!]p^k(1-p)^(n-k)
= Sum_{k:2->n}n!/[(k-2)!(n-2-k+2)!]p^2*p^(k-2)(1-p)^(n-2-k+2)
= n(n-1)p^2Sum_{k:2->n}(n-2)!/[(k-2)!(n-2-k+2)!]p^(k-2)(1-p)^(n-2-k+2)
= n(n-1)p^2Sum_{m:0->n-2}(n-2)!/[m!/(n-2-m)!]p^m(1-p)^(n-2-m)
= n(n-1)p^2
E(X^2) = E[X(X-1)] + EX = n(n-1)p^2 + np.
D(X) = E(X^2) - (EX)^2 = n(n-1)p^2 + np - (np)^2 = n^2p^2 - np^2 + np - (np)^2
= np(1-p).
方差用来描述随机性在期望周围的波动程度。。
比如扔硬币。。扔10次，每次扔到字的概率为0.5
那么，在这10次实验中，拿到字的次数服从二项分布b(10，0.5).
拿到字的期望次数为10*0.5 = 5(次）。
但每组10次扔硬币时，肯定不会都出现5次字。。
具体到某组10次扔硬币时，预测到大概会出现5次字。方差描述的是，实际扔出字的次数与5之间差别的平方。。
此时，方差=10*0.5(1-0.5) = 2.5
2、5的平方根=1.58（次）
说明实际扔出字的次数与之间差别不超过2次的机会很大。。【精确的描述有切比雪夫不等式和哈弗丁不等式~~】
性质：
a，b都是常数。。
E(ax+b)， 是说，随机变量ax + b(随机变量x的线性函数)的期望。。
期望运算是线性运算。。【线性变换的期望 = 期望的线性变换，E(ax+b) = E(ax) + E(b) = aEx + b】..[常数的期望=常数， E(b) = b. ]
方差是非线性变换。。
D(ax+b)，是说，随机变量ax + b(随机变量x的线性函数)的方差。。
D(ax+b) = E[ax+b-E(ax+b)]^2 = E[ax+b - aEx - b]^2 = E[ax - aEx]^2 = a^2E[x - Ex]^2 = a^2D(x).
