f(x)=xⁿ
f'(x)=lim(Δx→0)[f(x+Δx)-f(x)]/Δx
=lim(Δx→0)[(x+Δx)ⁿ-xⁿ]/Δx
=lim(Δx→0)[(x+Δx-x)·[(x+Δx)^(n-1)+(x+Δx)^(n-2)·x+...(x+Δx)x^(n-2)+x^(n-1)]/Δx
=x^(n-1)+(x)^(n-2)·x+...+x·x^(n-2)+x^(n-1)
=nx^(n-1)
拓展资料
幂函数是基本初等函数之一。
一般地.形如y=xα(α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x y=x0时x≠0）等都是幂函数。
幂函数的图象一定在第一象限内，一定不在第四象限，至于是否在第二、三象限内，要看函数的奇偶性幂函数的图象最多只能同时在两个象限内如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
1、正值性质
当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：
a、图像都经过点（1，1）(0，0）
b、函数的图像在区间[0，+∞)上是增函数
c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大α=1时，导数为常数0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0
2、负值性质
当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：
a、图像都通过点（1，1）
b、图像在区间（0，+∞）上是减函数（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）
c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。
3、零值性质
当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：
a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0，1）。它的图像不是直线。
